1.6 Keskiluvut

Tilastoissa on käytössä useammanlaisia keskilukuja. Tavallisin keskiluvuista on aritmeettinen keskiarvo. Keskiarvon saamiseksi lasketaan yhteen kaikkien havaintojen mittausarvot ja jaetaan se havaintojen lukumäärällä.

Tämän ryhmän keskipituus on:

Aritmeettinen keskiarvo ei kuitenkaan sovellu kaikenlaisten jakaumien kuvaamiseen. Käytetyn mitta-asteikon tulee olla joko suhdelukuasteikko (esim. raha, paino, pituus) tai välimatka-asteikko (esim. lämpötila, indeksi).

Jos kiinnostuksen kohteena olevaa asiaa voi mitata vain järjestysasteikolla (esim. koulutusaste), tulee käyttää mediaania. Mediaani ilmoittaa pisteen, joka jakaa jakauman kahteen osaan, siten että molemmissa osissa on puolet havainnoista.

Tämän ryhmän mediaani on 130 cm. Jos ryhmässä olisi parillinen määrä jäseniä, olisi mediaani keskimmäisten jäsenten pituuseron puolivälissä.

Mediaani on käyttökelpoinen keskiluku myös suhdelukuasteikollisissa jakaumissa, sillä se ei ole yhtä herkkä poikkeaville ääriarvoille kuin aritmeettinen keskiarvo. Tällä on käytännöllistä merkitystä esimerkiksi tulotilastoissa. Vaikka suurituloisia on melko vähän, nostavat heidän keskimääräiseen verrattuna moninkertaiset tulonsa aritmeettista keskituloa niin paljon, että valtaosa tulonsaajista jää keskiarvon alapuolelle. Myös tulojen muutokset asteikon äärimmäisessä yläpäässä vaikuttavat voimakkaasti aritmeettiseen keskituloon. Mediaani sen sijaan sijoittuu sinne, missä havaintojen lukumääräinen keskipiste sijaitsee eivätkä suurituloisten tulojen muutokset vaikuta mediaaniin.

Kun jakauma perustuu laatueroihin ei mediaaniakaan voi käyttää. Silloin keskilukuna on tyyppiarvo eli moodi. Se on yksinkertaisesti se arvo, jota on havaittu useimmin. Moodeja voi olla useampikin kappale samassa jakaumassa. Moodia voidaan käyttää myös suhdeluku- ja järjestysasteikkojen keskilukuna. Alla olevan havaintoaineiston moodi on 130 cm.

Myös luokitellusta aineistosta voidaan laskea keskilukuja. Luokitellun aineiston keskiarvon laskemiseksi kuhunkin luokkaan sijoittuneet havaintoarvot korvataan luokkien keskipisteillä (luokkakeskuksella), eli kunkin luokan havainnot saavat saman tarkan arvon. Luokkien keskipisteistä lasketaan painotettu keskiarvo kertomalla luokkakeskus luokkaan sijoittuneiden havaintojen lukumäärällä (luokkafrekvenssillä). Näin saadut tulot lasketaan yhteen ja summa jaetaan havaintojen kokonaismäärällä. Tuloksena on luokitellun aineiston aritmeettinen keskiarvo.

Harjoitukset